Question

5．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，若存在過右焦點F的直線與雙曲線C相交于A，B 兩點且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，則雙曲線在一、三象限的漸近線的斜率的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據向量數量積關系，建立不等式關系進行求解即可．

解答 解：由題意，A在雙曲線的左支上，B在右支上，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），右焦點F（c，0），
則∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，∴c-x₁=3（c-x₂），
∴3x₂-x₁=2c，
∵x₁≤-a，x₂≥a，
∴3x₂-x₁≥4a，∴2c≥4a，∴e=$\frac{c}{a}$≥2，
∴$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+{k^2}}≥2，即k≥\sqrt{3}或k≤-\sqrt{3}$
∴雙曲線在一、三象限的漸近線的斜率的最小值為$\sqrt{3}$，
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線的性質的應用，根據向量共線關系，建立方程組是解決本題的關鍵．