Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上下左右頂點分別為A，B，C，D，且左右的焦點為F₁，F(xiàn)₂，且以F₁F₂為直徑的圓內切于菱形ABCD，則橢圓的離心率e為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意寫出菱形ABCD一邊AD所在直線方程，由坐標原點O到AD的距離等于c列式求得關于e的方程，求解方程得答案．

解答 解：菱形ABCD一邊AD所在直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，即bx+ay-ab=0，
由題意，坐標原點O到AD的距離d=$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=c$，
整理可得 c⁴-3a²c²+a⁴=0，即：e⁴-3e²+1=0，
解得：$e=\frac{{-1±\sqrt{5}}}{2}，e=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$，$e=\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}$（舍去），
∴橢圓的離心率e=$\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓位置關系的應用，訓練了點到直線距離公式的應用，是中檔題．