Question

16．2015年10月十八屆五中全會決定全面放開二胎，這意味著一對夫婦可以生育兩個孩子．全面二胎于2016年1月1日起正式實施．某地計劃生育部門為了了解當?shù)丶彝�對“全面二胎”的贊同程度，從當�(shù)?00位城市居民中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20位居民進行問卷調(diào)查．統(tǒng)計如表：

居民編號			28
問卷得分	36	52	78	70	16	100	72	78	100	24	40	78	78	80	94	55	77	73	58	55

（注：表中居民編號由小到大排列，得分越高贊同度越高）
（Ⅰ）列出該地得分為100分的居民編號；
（Ⅱ）該地區(qū)計劃生育部門從當?shù)剞r(nóng)村居民中也用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20位居民，將兩類居民問卷得分情況制作了莖葉圖，試通過莖葉圖中數(shù)據(jù)信息，用樣本特征數(shù)評價農(nóng)村居民和城市居民對“全面二胎”的贊同程度（不要求算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可）；
（Ⅲ）將得分不低于70分的調(diào)查對象稱為“持贊同態(tài)度”．當?shù)赜媱澤�育部門想更進一步了解城市居民“持贊同態(tài)度”居民的更多信息，將調(diào)查所得的頻率視為概率，從大量的居民中采用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取了4次．
（i）求每次抽取1人，抽到“持贊同態(tài)度”居民的概率；
（ii）若設被抽到的4人“持贊同態(tài)度”的人數(shù)為ξ．每次抽取結(jié)果相互獨立，求ξ的分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）數(shù)列{a_n}為由小到大排列居民編號，依題意知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，即可求出答案；
（Ⅱ）根據(jù)莖葉圖和平均數(shù)中位數(shù)即可判斷農(nóng)村居民“全面二胎”的贊同程度要高于城市居民；
（Ⅲ）（i）城市居民“持贊同態(tài)度”的居民有12人，即可求出答案，
（ii）由題意知ξ～B（4，$\frac{3}{5}$），故ξ的分步列如下表，根據(jù)數(shù)學期望和方差的計算公式計算即可．

解答 解：（Ⅰ）記數(shù)列{a_n}為由小到大排列居民編號，依題意知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=10，
且a₃=28，得到為100分的居民編號分別對應為a₆，a₉，
則a₆=a₃+3d=58，a₉=a₃+6d=88，
所以得分為100分的居民編號分別為58，88，
（Ⅱ）通過莖葉圖可以看出，該地區(qū)農(nóng)村居民問卷得分的平均值明顯高于城市居民問卷得分的平均值，
農(nóng)村居民問卷得分的中位數(shù)為$\frac{1}{2}$（94+96）=95，城市居民問卷得分的中位數(shù)為$\frac{1}{2}$（72+73）=72.5，
農(nóng)村居民問卷得分的中位數(shù)明顯高于城市居民問卷得分的中位數(shù)，
所以農(nóng)村居民“全面二胎”的贊同程度要高于城市居民；
（Ⅲ）（i）城市居民“持贊同態(tài)度”的居民有12人，
每次抽到“持贊同態(tài)度”居民的概率為$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，
（ii）由題意知ξ～B（4，$\frac{3}{5}$），故ξ的分步列如下表，

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{81}{625}$

E（ξ）=4×$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$
所以D（ξ）=np（1-p）=4×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{24}{25}$

點評 本題考查了獨立事件的概率，分布列和數(shù)學期望和方差，屬于中檔題．