Question

18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實數(shù)對（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合：
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}； 
②M={（x，y）|y=log₂x}； 
③M={（x，y）|y=2^x-2}；
④M={（x，y）|y=sinx+1}．
其中是“垂直對點集”的序號是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 由題意可得：集合M是“垂直對點集”，即滿足：曲線y=f（x）上過任意一點與原點的直線，都存在過另一點與原點的直線與之垂直．

解答 解：由題意可得：集合M是“垂直對點集”，即滿足：
曲線y=f（x）上過任意一點與原點的直線，都存在過另一點與原點的直線與之垂直．
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}，其圖象向左向右和x軸無限接近，向上和y軸無限接近，
據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，
在圖象上任取一點A，連OA，過原點作OA的垂線OB必與y=$\frac{1}{{x}^{2}}$的圖象相交，
即一定存在點B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}是“垂直對點集”．
②M={（x，y）|y=log₂x}，（x＞0），
�。�1，0），則不存在點（x₂，log₂x₂）（x₂＞0），滿足1×x₂+0=0，
因此集合M不是“垂直對點集”；
對于③M={（x，y）|y=2^x-2}，其圖象過點（0，-1），且向右向上無限延展，向左向下無限延展，
據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，
在圖象上任取一點A，連OA，過原點作OA的垂線OB必與y=2^x-2的圖象相交，
即一定存在點B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2^x-2}是“垂直對點集”．
對于④M={（x，y）|y=sinx+1}，在圖象上任取一點A，
連OA，過原點作直線OA的垂線OB，因為y=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無限延展，且與x軸相切，
因此直線OB總會與y=sinx+1的圖象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直對點集”，故④符合；
綜上可得：只有①③④是“垂直對點集”．
故選：C

點評 本題考查了新定義“垂直對點集”、直線垂直與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．