Question

13．有下列4個說法
①集合A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B⊆A，則-3≤a≤3；
②方程sinx=x的解的個數(shù)為3個；
③函數(shù)y=f（2-x）與函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
④a∈（$\frac{1}{4}$，+∞）時，函數(shù)y=lg（x²+x+a）的值域為R；
其中正確的題號為③．（寫出所有正確說法的題號）

Answer 1

分析 求出滿足B⊆A的a的范圍判斷①；構(gòu)造函數(shù)，求出方程sinx=x的解的個數(shù)判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象對稱變換的法則，可以判斷③正確；求出使函數(shù)y=lg（x²+x+a）的值域為R的a的范圍判斷④．

解答 解：①集合A={x|x²-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B⊆A，
則a+1＞2a-1，或$\left\{\begin{array}{l}{a+1≤2a-1}\\{a+1≥-2}\\{2a-1≤5}\end{array}\right.$，解得a≤3，故①錯誤；
②令f（x）=sinx-x，f′（x）=cosx-1≤0，∴f（x）為實數(shù)集上的減函數(shù)，又f（0）=0，
∴f（x）=sinx-x只有1個零點，即方程sinx=x的解的個數(shù)為1個，故②錯誤；
③∵函數(shù)y=f（x-2）圖象關(guān)于直線x=2對稱的函數(shù)解析式為y=f[（4-x）-2]=f（2-x），故③正確；
④要使函數(shù)y=lg（x²+x+a）的值域為R，則x²+x+a能夠取到大于0的所有正數(shù)，則△=1-4a≥0，解得a$≤\frac{1}{4}$，
∴當a∈（-∞，$\frac{1}{4}$]時，函數(shù)y=lg（x²+x+a）的值域為R，故④錯誤．
∴正確的命題是③．
故答案為：③．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了交集及其運算，考查函數(shù)零點判定定理，考查函數(shù)值域的求法，是中檔題．