Question

8．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC₁中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥平面AB₁E；
（2）求三棱錐C-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知正三棱柱得平面ABC⊥平面BCC₁B₁，結(jié)合E為BC的中點(diǎn)得AE⊥平面BCC₁B₁，進(jìn)一步可得AE⊥BD，再由棱長(zhǎng)全相等，知Rt△BCD≌Rt△B₁BE，得BD⊥B₁E，由線面垂直的判定得BD⊥平面AB₁E；
（2）在等腰三角形ABC中求出AE，利用等積法求得三棱錐C-ABD的體積．

解答 （1）證明：∵棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且E為BC的中點(diǎn)，
∴平面ABC⊥平面BCC₁B₁，AE⊥BC，
又AE⊥BC，且AE?平面ABC，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，而D為CC₁中點(diǎn)，且BD?平面BCC₁B₁，
∴AE⊥BD，
由棱長(zhǎng)全相等，知Rt△BCD≌Rt△B₁BE，
即∠CBD+∠B₁EB=∠BB₁E+∠B₁EB=90°，
故BD⊥B₁E，又AE∩B₁E=E，
∴BD⊥平面AB₁E；
（2）解：在等腰三角形ABC中，由AC=2，CE=1，得AE=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{C-ABD}={V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判斷，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．