Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD 平面ABCD，PA PD ,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,
（1）求證：PD 平面PAB;
（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在點M，使得BMll平面PCD?若存在，求 的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，

∴PD⊥平面PAB；

（2）

解：如圖：

取 中點為 ，連結(jié) ，

∵

∴

∵

∴

以 為原點，如圖建系

易知P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），

則 ， ， ，

設(shè) 為面 的法向量，令

，則 與面 夾角 有

（3）

解：假設(shè)存在 點使得 面

設(shè) ，

由（2）知 ， ， ， ，

有

∴

∵ 面 ， 為 的法向量

∴

即

∴

∴綜上，存在 點，即當(dāng) 時， 點即為所求

【解析】（1）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面PAD，進(jìn)一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由線面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；
（2）取AD中點為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），進(jìn)一步求出向量 的坐標(biāo)，再求出平面PCD的法向量 ，設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，由 求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（3）假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD，設(shè) ，M（0，y1 ， z1），由 可得M（0，1﹣λ，λ）， ，由BM∥平面PCD，可得 ，由此列式求得當(dāng) 時，M點即為所求．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點．