Question

如圖所示，兩定點(diǎn)A（-6，0），B（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P對(duì)線段AO，BO所張的角相等（即∠APO=∠BPO），求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由∠APO=∠BPO，根據(jù)角平分線定理得

|PA|

|PB|

=3列出等式，化簡(jiǎn)整理即得．但應(yīng)注意曲線上的點(diǎn)與方程的解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是否一一對(duì)應(yīng)．

解答： 解：如圖，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由動(dòng)點(diǎn)P對(duì)線段AO、OB所張角相等，得∠APO=∠BPO，
由角平分線定理，得

|PA|

|PB|

=

|AO|

|BO|

．
∴

(x+6)2+y2

(x-2)2+y2

=3．整理得x²+y²-6x=0．
由方程可知圓過(guò)原點(diǎn)，但當(dāng)P和原點(diǎn)重合時(shí)無(wú)意義，∴x≠0．
∴所求方程為x²+y²-6x=0（x≠0）．
又由題意可知P點(diǎn)落在x軸上除線段AB以外的任何點(diǎn)處均有∠APO=∠BPO=0°，
∴又有方程y=0（x＜-6或x＞2）．
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²-6x=0（x≠0）或y=0（x＜-6或x＞2）．

點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程時(shí)經(jīng)常遇到“去”和“補(bǔ)”的問(wèn)題，當(dāng)所求的方程包括不合題意的點(diǎn)時(shí)，必須去掉，當(dāng)所求的方程不含其他合乎條件的點(diǎn)時(shí)，必須補(bǔ)出來(lái)，此題是中檔題．