Question

【題目】如圖，橢圓：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，

已知橢圓的焦距為，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)面積取得最大時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題（1）由橢圓的焦距為可得，再由兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合的關(guān)系，解得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于零，以及弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式成立的條件即可得到直線方程.

試題解析：（1）橢圓的焦距為，所以，

由已知，即，

，，

所以，

橢圓方程為

（2）解：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

由，消去得關(guān)于的方程：

由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，解得

又由韋達(dá)定理得

原點(diǎn)到直線的距離

.

令，則

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，

此時(shí).

所以，所求直線方程為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和三角形面積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.