Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+

3

cos²x-

3

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）如果△ABC的角A，B，C所對的邊為a，b，c，且滿足b²=ac，試求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,二倍角的正弦

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用二倍角公式化簡函數(shù)，再求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求f（B）的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosx+

3

cos²x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin（2x+

π

3

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π；
由2kπ+

1

2

π≤2x+

π

3

≤2kπ+

3

2

π，可得

π

12

+kπ≤

7π

12

+kπ，
∴單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）；
（2）∵b²=ac，b²=a²+c²-2accosB，
∴ac=a²+c²-2accosB，
解得1＞cosB≥

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

，
∴

π

3

＜2B+

π

3

≤π，
∴0≤sin（2B+

π

3

）≤1，
即f（B）的取值范圍為[0，1]．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查基本不等式的運用，考查學生綜合分析問題的能力，屬于中檔題．