Question

4．已知F是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（1，t）在拋物線C上，且|PF|=$\frac{3}{2}$．
（1）求p，t的值；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C 上是否存在點(diǎn)A（A與O不重合），使得過點(diǎn)O作線段OA的垂線與拋物線C交于點(diǎn)B，直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)D，E，且滿足S_△OAB=$\frac{3}{2}{S_{△ODE}}$（S_△OAB表示△OAB的面積，S_△ODE表示△ODE的面積）？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，可得p值，進(jìn)而可得t值；
（2）由題意，直線OA的斜率存在，且不為0，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，考慮A在第一象限．設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得E的坐標(biāo)，利用S_△OAB=$\frac{3}{2}{S_{△ODE}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn) P（1，t）為拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，|PF|=$\frac{3}{2}$，
∴1+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得：p=1，
故拋物線的方程為：y²=2x，
將x=1代入可得：t=±$\sqrt{2}$；
（2）由題意，直線OA的斜率存在，且不為0，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，考慮A在第一象限．
設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＞0），OA⊥OB，直線OB的方程為y=-$\frac{1}{k}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得k²x²=2x，∴x=0（舍去）或x=$\frac{2}{{k}^{2}}$，即A（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．
同理B（2k²，-2k）．
∵k=1時(shí)，AB⊥y軸，不符合題意，
∴直線AB的方程為y+2k=$\frac{\frac{2}{k}+2k}{\frac{2}{{k}^{2}+2{k}^{2}}}$（x-2k²），
即y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2k²），
∴E（0，$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$）．
∵S_△OAB=$\frac{3}{2}{S_{△ODE}}$，
∴|y_A|+|y_B|=$\frac{3}{2}$|y_E|，
∵y_A，y_B異號(hào)，
∴|y_A|+|y_B|=|y_A-y_B|=$\frac{3}{2}$|y_E|，
∴|$\frac{2}{k}+2k$|=$\frac{3}{2}$•|$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$|
∴k²=$\frac{1}{2}$或2，
∴A（4，2$\sqrt{2}$）或A（1，$\sqrt{2}$），
由對(duì)稱性，可得A（4，±2$\sqrt{2}$）或A（1，±$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．