13.已知復(fù)數(shù)${z_1}=\frac{15-5i}{{{{(2+i)}^2}}},{z_2}=a-3i(a∈R)$.
(1)若a=2,求${z_1}•\overline{z_2}$;
(2)若$z=\frac{z_1}{z_2}$是純虛數(shù),求a的值.

分析 (1)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)z1,進(jìn)而得出.
(2)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、純虛數(shù)的定義即可得出.

解答 解:(1)z1=$\frac{15-5i}{(2+i)^{2}}$=$\frac{15-5i}{3+4i}$=$\frac{(15-5i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}$=1-3i.
a=2時(shí),∴${z_1}•\overline{z_2}$=(1-3i)(2+3i)=11-3i.
(2)$z=\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{1-3i}{a-3i}$=$\frac{(1-3i)(a+3i)}{(a-3i)(a+3i)}$=$\frac{a+9+(3-3a)i}{{a}^{2}+9}$是純虛數(shù),
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+9=0}\\{3-3a≠0}\end{array}\right.$,a=-9.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、純虛數(shù)的定義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.某品牌汽車的4S店對(duì)最近60位采用分期付款的購(gòu)車者人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:
付款方式分1期分2期分3期分4期
頻數(shù)20a14b
已知分4期付款的頻率為$\frac{1}{6}$,并且4S店銷售一輛該品牌的汽車,顧客分1期付款其利潤(rùn)為1萬(wàn)元,分2期或3期付款其利潤(rùn)為2萬(wàn)元,分4期付款其利潤(rùn)為3萬(wàn)元,以頻率作為概率.
(1)求事件A“購(gòu)買該品牌汽車的3位顧客中,至多有1位分4期付款”的概率;
(2)用X表示銷售一兩該品牌汽車的利潤(rùn),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)P(1,t)在拋物線C上,且|PF|=$\frac{3}{2}$.
(1)求p,t的值;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C 上是否存在點(diǎn)A(A與O不重合),使得過(guò)點(diǎn)O作線段OA的垂線與拋物線C交于點(diǎn)B,直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)D,E,且滿足S△OAB=$\frac{3}{2}{S_{△ODE}}$(S△OAB表示△OAB的面積,S△ODE表示△ODE的面積)?若存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

1.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{3}sinωx+cosωx(ω>0)$的最小正周期為π,把f(x)的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位,得到函數(shù)R的圖象.則g(x)的解析式為( 。
A.g(x)=2sin2xB.$g(x)=2sin(2x+\frac{2π}{3})$C.g(x)=2cos2xD.$g(x)=2sin(2x+\frac{π}{6})$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

8.若由一個(gè)2×2 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀測(cè)值k≈4.013,那么在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.如圖,已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,其左、右頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0).過(guò)點(diǎn)D(1,0)的直線l與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線A1M與NA2的斜率分別為k1,k2,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)λ,使得k2=λk1?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.下列命題,正確命題個(gè)數(shù)為(  )
①若tanA•tanB>1,則△ABC一定是鈍角三角形;
②若sin2A=sin2B,則△ABC一定是等腰三角形;
③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC一定是等邊三角形;
④在銳角三角形ABC中,一定有sinA>cosB.
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.設(shè)函數(shù)f(x)=x(x+k)(x+2k),且f′(0)=8,則k=( 。
A.2B.-2C.±2D.±1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

3.若函數(shù)f(x)=2sin2(ωx)+2$\sqrt{3}$sin(ωx+$\frac{π}{2}}$)-1(ω>0)的最小正周期為1,則ω=π,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{4}}$]上的值域?yàn)閇0,2$\sqrt{3}$-1].

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案