【題目】如圖所示，在三棱錐中，側(cè)面， 是全等的直角三角形， 是公共的斜邊且， ，另一側(cè)面是正三角形.

（1）求證： ；

（2）若在線段上存在一點，使與平面成角，試求二面角的大小.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意將幾何體補形，然后建立空間直角坐標系即可證得.

(2)利用空間坐標系結(jié)合平面的法向量可得二面角的大小為.

試題解析：

解：（1）證明：作面于，連接，由題意得， ，故中， ，所以為直角三角形， ，又為在平面內(nèi)的射影， ，同理得，又，所以四邊形是正方形且，將所得四棱錐補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， ， ， ， ， ，所以，則.

（2）設(shè)是線段上上一點，則， ，平面的一個法向量為， ，要使與平面成角，由圖可知， 與的夾角為，所以 ，則，解得，則，故線段上存在點，當(dāng)時， 與平面成角.

， ， ， ， ， ，設(shè)平面的法向量，

則， ，令則，

，同理平面的法向量，

，設(shè)平面與平面成角為，

則， .

練習(xí)冊系列答案
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(1)若出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為，求的分布列；

(2) 該廠至少有多少名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于90%？

(3)已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤，若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值.

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