分析 (1)利用直線的傾斜角,求出AB,利用三角形是正三角形,求解b,即可得到雙曲線方程.
(2)求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出直線方程,推出A、B坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積為0,即可求值直線的斜率.
解答 解:(1)雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,a=1,c2=1+b2,
直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),
直線l的傾斜角為$\frac{π}{2}$,△F1AB是等邊三角形,
可得:A(c,b2),可得:$\frac{\sqrt{3}}{2}•2^{2}=2c$,
∴3b4=4(a2+b2),
即3b4-4b2-4=0,
b>0,解得b2=2.
所求雙曲線方程為:x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1,
其漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x.
(2)b=$\sqrt{3}$,雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1,可得F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線的斜率為:k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$,
直線l的方程為:y=k(x-2),
由直線與雙曲線聯(lián)立消去y可得:(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,
△=36(1+k2)>0,
可得x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$,
則y1+y2=k(x1+x2-4)=k($\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$-4)=$\frac{12k}{{k}^{2}-3}$.
M為AB的中點(diǎn),且$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{AB}$=0,可得:(x1+x2+4,y1+y2)•(x1-x2,y1-y2)=0,
可得x1+x2+4+(y1+y2)k=0,
得 $\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$+4+$\frac{12k}{{k}^{2}-3}$•k=0
可得:k2=$\frac{3}{5}$,
解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
l的斜率為:±$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
點(diǎn)評 本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,平方差法以及直線與雙曲線方程聯(lián)立求解方法,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
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A. | $-\frac{{\sqrt{7}}}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $-\frac{1}{2}$ |
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f(1)=-2 | f(1.5)=0.625 |
f(1.25)=-0.984 | f(1.375)=-0.260 |
f(1.438)=0.165 | f(1.4065)=-0.052 |
A. | 1.2 | B. | 1.3 | C. | 1.4 | D. | 1.5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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