Question

14．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+a|x-1|
（I）當a=1時，解關于x的不等式f（x）≥4
（II）若f（x）≥|x-2|的解集包含[$\frac{1}{2}$，2]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）＞4的解集．
（Ⅱ）f（x）≥|x-2|的解集包含[$\frac{1}{2}$，2]，即為a|x-1|≥3-3x對x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，分類解得即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=|2x-1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2，x＜\frac{1}{2}}\\{x，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{3x-2，x＞1}\end{array}\right.$，
∵f（x）≥4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2≥4}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3x-2≥4}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
解得x≤-$\frac{2}{3}$或x≥2，
故不等式的解集為（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[2，+∞）．
（Ⅱ）∵f（x）≥|x-2|的解集包含[$\frac{1}{2}$，2]，
∴a|x-1|≥3-3x對x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立
當$\frac{1}{2}$≤x＜1時，a（1-x）≥3-3x，
解得a≥3，
當1≤x≤2時，a（x-1）≥3-3x，
解得a≥-3，
綜上：a≥3．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．