Question

6．極坐標系中，拋物線C的頂點在極點O，對稱軸為極軸，焦點F（1，0）．
（I）求拋物線的極坐標方程；
（Ⅱ）A，B在拋物線上，若A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意可得拋物線的標準方程：y²=4x．利用互化公式可得極坐標方程．
（Ⅱ）把極坐標代入極坐標方程可得ρ₁，ρ₂．可得△OAB面積S=$\frac{1}{2}$|ρ₁ρ₂|=$\frac{16}{|sin2θ|}$，即可得出．

解答 解：（I）由題意可得拋物線的標準方程：y²=4x．
可得極坐標方程：（ρsinθ）²=4ρcosθ，可得ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅱ）ρ₁=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，ρ₂=$\frac{4cos（θ+\frac{π}{2}）}{si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}$=$\frac{-4sinθ}{co{s}^{2}θ}$．
∴△OAB面積S=$\frac{1}{2}$|ρ₁ρ₂|=$\frac{16}{|sin2θ|}$≥16，當且僅當|sin2θ|=1時取等號．

點評 本題考查了拋物線的標準方程、直角坐標方程化為極坐標方程、極坐標方程的應用、倍角公式、誘導公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．