Question

6．極坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在極點(diǎn)O，對(duì)稱軸為極軸，焦點(diǎn)F（1，0）．
（I）求拋物線的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）A，B在拋物線上，若A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=4x．利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把極坐標(biāo)代入極坐標(biāo)方程可得ρ₁，ρ₂．可得△OAB面積S=$\frac{1}{2}$|ρ₁ρ₂|=$\frac{16}{|sin2θ|}$，即可得出．

解答 解：（I）由題意可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=4x．
可得極坐標(biāo)方程：（ρsinθ）²=4ρcosθ，可得ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅱ）ρ₁=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，ρ₂=$\frac{4cos（θ+\frac{π}{2}）}{si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}$=$\frac{-4sinθ}{co{s}^{2}θ}$．
∴△OAB面積S=$\frac{1}{2}$|ρ₁ρ₂|=$\frac{16}{|sin2θ|}$≥16，當(dāng)且僅當(dāng)|sin2θ|=1時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、倍角公式、誘導(dǎo)公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．