Question

1．已知${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}}）^n}$的展開式中的二項式系數(shù)之和為256．
（Ⅰ）證明：展開式中沒有常數(shù)項；
（Ⅱ）求展開式中所有有理項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用二項式系數(shù)的性質求出n，再利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數(shù)為0得到常數(shù)項，方程無解即可證明結論成立；
（Ⅱ）令展開式中的x的指數(shù)為有理數(shù)，求出k值，再求出相應的有理項．

解答 證明：（Ⅰ）依題意得：2ⁿ=256，∴n=8…2分，
∴${T_{r+1}}=C_8^r{（{\sqrt{x}}）^{8-r}}{（{-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}}）^r}={（{-1}）^r}\frac{C_8^r}{2^r}•{x^{4-\frac{3r}{4}}}$，
令$4-\frac{3r}{4}=0$得，$r=\frac{16}{3}$∉N^*，
∴展開式中沒有常數(shù)項．…5分
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${T}_{r+1}={（-1）}^{r}\frac{{C}_{8}^{r}}{{2}^{r}}•{x}^{4-\frac{3r}{4}}$，
當r=0，4，8時，T_r+1為有理項，
∴展開式中所有有理項為：${x^4}\;，\;\frac{35}{8}x\;，\;\frac{1}{{256{x^2}}}$．…10分．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，以及二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．