Question

10．如圖所示，D為△ABC的外接圓$\widehat{BC}$的中點，點O在AD上，且OD=BD，AD與BC相交于E．
（I）證明；AD，OD，DE三條線段長成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若點O到AB的距離為2，試求△ABC的內(nèi)切圓的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角形相似得到DB²=DA•DE，OD²=AD•DE，從而證出線段長成等比數(shù)列；
（Ⅱ）證出O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出內(nèi)切圓的面積．

解答 （Ⅰ）證明：∵D為△ABC的外接圓$\widehat{BC}$的中點，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD=∠EBD，
又∠BDA是△DBE與△DBA的公共角，
∴△DBE∽△DAB，
∴$\frac{DB}{DA}$=$\frac{DE}{DB}$，∴DB²=DA•DE，
∵OD=DB，∴OD²=AD•DE，
∴AD，OD，DE三條線段長成等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵OD=DB，∴∠DBO=∠DOB，
由（Ⅰ）得：∠EBD=∠BAD，
而∠DBO=∠EBD+∠EBO，
∠DOB=∠BAD+∠OBA，
即∠EBD+∠EBO=∠BAD+∠OBA，
于是∠EBO=∠OBA，
即OB是∠ABC的平分線，
由（Ⅰ）得：∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分線，
∴O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，
∵O到AB的距離是2，
∴內(nèi)切圓的半徑是2，
∴內(nèi)切圓的面積S=4π．

點評 本題考查了三角形相似的應(yīng)用，考查三角形內(nèi)切圓問題以及等比數(shù)列，是一道中檔題．