Question

16．如圖，已知一個八面體各棱長均為1，四邊形ABCD為正方形，則下列命題中不正確的是（　�。�

• A． 不平行的兩條棱所在直線所成的角為60°或90°
• B． 四邊形AECF為正方形
• C． 點A到平面BCE的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• D． 該八面體的頂點在同一個球面上

Answer 1

分析 由已知求出圖中任意兩棱所成角的大小判斷A、B正確；再由等積法求出點A到平面BCE的距離說明C錯誤；由ABCD為正方形，AECF為正方形，且兩正方形邊長相等，中心都為AC的中點說明D正確．

解答 解：∵八面體的各條棱長均為1，四邊形ABCD為正方形，
∴在四棱錐E-ABCD中，相鄰兩條側棱所成的角為60°，
∵AE=CE=1，AC=$\sqrt{2}$，滿足AE²+CE²=AC²，∴AE⊥CE，
同理AF⊥CF，則四邊形AECF是正方形．
再由異面直線所成角概念可知，圖中每一條棱與和其異面的棱所成角為60°．
故A、B正確；
設點A到平面BCE的距離h，由V_E-ABCD=2V_A-BCE，
得$\frac{1}{3}$×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}h$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴點A到平面BCE的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，故C錯誤；
由ABCD為正方形，AECF為正方形，且兩正方形邊長相等，中心都為AC的中點，
∴該八面體的頂點在以AC中點為球心，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為半徑的球面上，故D正確．
∴不正確的命題是C．
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查立體幾何中線線關系以及線面關系，利用了等積法求點到平面的距離，是中檔題．