Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n．其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{（2-n）（a_n-1）}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式可得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）-a_n-1（n≥2），與原遞推式作差可得數(shù)列{a_n-1}是以${a}_{1}-1=-\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，由此求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入數(shù)列{（2-n）（a_n-1）}，利用錯位相減法求得其前n項和．

解答 解：（1）由a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，得
a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）-a_n-1（n≥2），
兩式作差得：2a_n=a_n-1+1（n≥2），
∴${a}_{n}-1=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-1）$（n≥2）．
∵a₁=1-a₁，∴${a}_{1}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n-1}是以${a}_{1}-1=-\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}-1=-\frac{1}{2}（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=1-（\frac{1}{2}）^{n}$；
（2）（2-n）（a_n-1）=$（n-2）•\frac{1}{{2}^{n}}$，
${S}_{n}=-\frac{1}{2}+0•\frac{1}{{2}^{2}}+1•\frac{1}{{2}^{3}}+…+（n-2）•\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}=-\frac{1}{{2}^{2}}+0•\frac{1}{{2}^{3}}+…+（n-1）•\frac{1}{{2}^{n}}+（n-2）•\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式作差得：$\frac{1}{2}{S}_{n}=-\frac{1}{2}+（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）-（n-2）•\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}=-\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-（n-2）•\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
則${S}_{n}=-\frac{n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．