Question

10．以下4個命題：
①若實數(shù)a、b、c滿足b²=ac，則a、b、c成等比數(shù)列；
②定積分$\int_1^2{（{e^x}+\frac{1}{x}）dx}$的值為e²-e+ln2；
③兩直線（a+2）x+（1-a）y-1=0與（a-1）x+（2a+3）y+2=0相互垂直的充要條件是a=-1；
④點P是△ABC內一點，且$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，則△ABP與△ABC的面積之比為$\frac{1}{3}$．
其中正確命題的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的定義，可判斷①；求出定和積分的值，可判斷②；根據(jù)充要條件的定義，可判斷③；求出兩個三角形的高之比，進而得到面積比，可判斷④．

解答 解：若實數(shù)a、b、c滿足b²=ac=0，則a、b、c不成等比數(shù)列，故①錯誤；
定積分$\int_1^2{（{e^x}+\frac{1}{x}）dx}$=${（e}^{x}+lnx）{|}_{1}^{2}$=e²-e+ln2，故②正確；
兩直線（a+2）x+（1-a）y-1=0與（a-1）x+（2a+3）y+2=0相互垂直
?（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0?a=-1或a=1，
故兩直線（a+2）x+（1-a）y-1=0與（a-1）x+（2a+3）y+2=0相互垂直的充分條件是a=-1，故③錯誤；
取D為BC邊上一點，且3BD=2CD，
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，故P到AB的距離等于C到AB距離的$\frac{1}{3}$，
則△ABP與△ABC的面積之比為$\frac{1}{3}$，故④正確．
故選：B

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了等比數(shù)列，定積分，充要條件，向量在幾何中的應用等知識點，難度中檔．