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【題目】已知函數f(x)滿足f(x)=f′(1)ex1﹣f(0)x+ x2
(1)求f(x)的解析式及單調區(qū)間;
(2)若 ,求(a+1)b的最大值.

【答案】
(1)解:

令x=1得:f(0)=1

令x=0,得f(0)=f'(1)e1=1解得f'(1)=e

故函數的解析式為

令g(x)=f'(x)=ex﹣1+x

∴g'(x)=ex+1>0,由此知y=g(x)在x∈R上單調遞增

當x>0時,f'(x)>f'(0)=0;當x<0時,有

f'(x)<f'(0)=0得:

函數 的單調遞增區(qū)間為(0,+∞),單調遞減區(qū)間為(﹣∞,0)


(2)解: 得h′(x)=ex﹣(a+1)

①當a+1≤0時,h′(x)>0y=h(x)在x∈R上單調遞增,x→﹣∞時,h(x)→﹣∞與h(x)≥0矛盾

②當a+1>0時,h′(x)>0x>ln(a+1),h'(x)<0x<ln(a+1)

得:當x=ln(a+1)時,h(x)min=(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣b≥0,即(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)≥b

∴(a+1)b≤(a+1)2﹣(a+1)2ln(a+1),(a+1>0)

令F(x)=x2﹣x2lnx(x>0),則F'(x)=x(1﹣2lnx)

時,

即當 時,(a+1)b的最大值為


【解析】(1)對函數f(x)求導,再令自變量為1,求出f′(1)得到函數的解析式及導數,再由導數求函數的單調區(qū)間;(2)由題意 ,借助導數求出新函數的最小值,令其大于0即可得到參數a,b 所滿足的關系式,再研究(a+1)b的最大值
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點,需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】己知圓的圓心在直線上,且過點與直線相切.

)求圓的方程

)設直線與圓相交于,兩點.求實數的取值范圍.

的條件下,是否存在實數,使得弦的垂直平分線過點,若存在,求出實數的值;若不存在,請說明理由

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【題目】在下列命題中:
①存在一個平面與正方體的12條棱所成的角都相等;
②存在一個平面與正方體的6個面所成較小的二面角都相等;
③存在一條直線與正方體的12條棱所成的角都相等;
④存在一條直線與正方體的6個面所成的角都相等.
其中真命題的個數為(
A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評,根據男女學生人數比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數,將數據分成7組:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:

(Ⅰ)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數小于70的概率;

(Ⅱ)已知樣本中分數小于40的學生有5人,試估計總體中分數在區(qū)間[40,50)內的人數;

(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分數不小于70,且樣本中分數不小于70的男女生人數相等.試估計總體中男生和女生人數的比例.

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【題目】已知拋物線 )的焦點為 , 在拋物線, ,直線 與拋物線 交于 , 兩點 為坐標原點.

(1)求拋物線 的方程;

(2)求 的面積.

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【題目】某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售,如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購進16枝玫瑰花,求當天的利潤y(單位:元)關于當天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數解析式.
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:

日需求量n

14

15

16

17

18

19

20

頻數

10

20

16

16

15

13

10

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(i)若花店一天購進16枝玫瑰花,X表示當天的利潤(單位:元),求X的分布列,數學期望及方差;
(ii)若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花,你認為應購進16枝還是17枝?請說明理由.

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【題目】某班50位學生期中考試數學成績的頻率直方分布圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求圖中x的值;
(2)從成績不低于80分的學生中隨機選取2人,該2人中成績在90分以上(含90分)的人數記為ξ,求ξ的數學期望.

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【題目】如圖,在直角坐標中,設橢圓的左右兩個焦點分別為,過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交,其中一個交點為.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知,經過點且斜率為,直線與橢圓有兩個不同的交點,請問是否存在常數,使得向量共線?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.

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【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于點F,FE∥CD,交PD于點E.

(1)證明:CF⊥平面ADF;
(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.

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