Question

已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+

π

3

）的最小正周期為T且滿足T∈（1，3），求正整數(shù)ω，并根據(jù)最小的ω的值求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及與x軸的交點坐標．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：由條件求得最小的ω的值為3，可得函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心求得函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標．

解答： 解：由題意可得1＜

2π

ω

＜3，求得

2π

3

＜ω＜2π，故滿足條件的正整數(shù)ω=3，4，5，6，
故最小的ω的值為3，此時函數(shù)f（x）=3sin（3x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤3x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得

2kπ

3

-

5π

18

≤x≤

2kπ

3

+

π

18

，
故函數(shù)增區(qū)間為[

2kπ

3

-

5π

18

，

2kπ

3

+

π

18

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤3x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得

2kπ

3

+

π

18

≤x≤

2kπ

3

kπ+

7π

18

，
故函數(shù)減區(qū)間為[

2kπ

3

+

π

18

，

2kπ

3

+

7π

18

]，k∈z．
令3x+

π

3

=kπ，k∈z，求得x=

kπ

3

kπ

2

-

π

9

，故函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標為（

kπ

3

-

π

9

，0）．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．