Question

【題目】已知函數(shù)且

（1）求該函數(shù)的值域；

（2）若對(duì)于任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）令t=log2x，則可將函數(shù)在x∈[2，4]時(shí)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域問(wèn)題，利用二次函數(shù)的圖象分析出函數(shù)的最值，即可得到函數(shù)的值域；
（2）令t=log2x，則可將已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)t∈[1，2]恒成立，求出不等號(hào)左邊式子的最小值即可得到答案．

(1) ，2≤x≤4，

設(shè)log2x=t，1≤t≤2，

∴f(t)=(t2)(t)=

當(dāng)時(shí), ,當(dāng)t=1,或t=2時(shí),ymax=0.

∴函數(shù)的值域是.

(2)若對(duì)于任意恒成立，

令t=log2x，1≤t≤2，

即(t2)(t)≥mt對(duì)t∈[1,2]恒成立，

∴對(duì)t∈[1,2]恒成立，

∵,當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號(hào)，

∴，

∴，

∴.