Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx-2sin²ωx的最小正周期為3π．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，AB=2，2sin²B=cosB+cos（A-C），求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）-1，根據(jù)周期公式即可解得ω，可求當(dāng)解析式；（2）根據(jù)（1）的表達式，解關(guān)于C的方程f（C）=1，結(jié)合C為三角形的內(nèi)角算出C=$\frac{π}{2}$，因此將等式2sin²B=cosB+cos（A-C）化成關(guān)于A的方程，整理得sin²A+sinA-1=0，解之即得sinA的值，利用正弦定理即可得解BC的長．

解答 （本題滿分為14分）
解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx-2sin²ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx-（1-cos2ωx）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）-1，…（4分）
∴依題意函數(shù)f（x）的最小正周期為3π，即$\frac{2π}{2ω}$=3π，解得ω=$\frac{1}{3}$，
所以f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1．…（6分）
（2）∵f（C）=2sin（$\frac{2C}{3}$+$\frac{π}{6}$）-1=1，
∴sin（$\frac{2C}{3}$+$\frac{π}{6}$）=1，
∵C∈（0，π），可得$\frac{2C}{3}$+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴$\frac{2C}{3}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得C=$\frac{π}{2}$．…（8分）
∵在Rt△ABC中，A+B=$\frac{π}{2}$，有2sin²B=cosB+cos（A-C），
∴2cos²A-sinA-sinA=0，即sin²A+sinA-1=0，解之得sinA=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．…（11分）
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．…（12分）
∵AB=2，
∴由正弦定理可得：BC=$\frac{ABsinA}{sinC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1}$=$\sqrt{5}$-1．…（14分）

點評 本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的周期，求函數(shù)的表達式并依此求三角形ABC的角A的正弦值．著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識點，屬于中檔題．