Question

20．定義f″（x）是y=f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的導函數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．可以證明，任意三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：
①存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=x³-3x²-3x+5的對稱中心也是函數(shù)$y=tan\frac{π}{2}x$的一個對稱中心；
③存在三次函數(shù)h（x），方程h′（x）=0有實數(shù)解x₀，且點（x₀，h（x₀））為函數(shù)y=h（x）的對稱中心；
④若函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{12}$，則$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=-1007.5．
其中正確命題的序號為②③④（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析 利用三次函數(shù)對稱中心的定義和性質(zhì)進行判斷①③；分別求出函數(shù)f（x）=x³-3x²-3x+5與函數(shù)$y=tan\frac{π}{2}x$的對稱中心判斷②；求出函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{12}$的對稱中心，可得g（x）+g（1-x）=-1，進一步求得$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=-1007.5判斷④．

解答 解：∵任何三次函數(shù)的二階導數(shù)都是一次函數(shù)，∴任何三次函數(shù)只有一個對稱中心，故①不正確；
由f（x）=x³-3x²-3x+5，得f′（x）=3x²-6x-3，f″（x）=6x-6，由6x-6=0，得x=1，函數(shù)f（x）的對稱中心為（1，0），
又由$\frac{π}{2}x=\frac{kπ}{2}，k∈Z$，得x=k，k∈Z，∴f（x）的對稱中心是函數(shù)$y=tan\frac{π}{2}x$的一個對稱中心，故②正確；
∵任何三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，
∴存在三次函數(shù)f′（x）=0有實數(shù)解x₀，點（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對稱中心，即③正確；
∵$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{12}$，
∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=$\frac{1}{2}$，
∵g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）³-$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{12}$=-$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{12}$的對稱中心是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=-1007.5，故④正確．
故答案為：②③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查函數(shù)與導數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查化簡計算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于難題．