Question

9．O為△ABC平面內(nèi)一定點(diǎn)，該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足M={P|$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（|$\overrightarrow{AB}$|sinB•$\overrightarrow{AB}$+|$\overrightarrow{AC}$|sinC•$\overrightarrow{AC}$），λ＞0}，則△ABC的（　�。┮欢▽儆诩�合M．

• A． 重心
• B． 垂心
• C． 外心
• D． 內(nèi)心

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，根據(jù)正弦定理得出|$\overrightarrow{AB}$|sinB=|$\overrightarrow{AC}$|sinC，代入關(guān)系式由向量的減法化簡(jiǎn)，得出$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{AD}$共線，由此得出點(diǎn)P的軌跡，從而得出答案．

解答 解：△ABC中，由正弦定理得，$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}$=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}$，
即|$\overrightarrow{AB}$|sinB=|$\overrightarrow{AC}$|sinC，
設(shè)t=|$\overrightarrow{AB}$|sinB，
代入$\overrightarrow{OP}$，則$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λt（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴D是BC的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+2λt$\overrightarrow{AD}$，且λ、t都是常數(shù)，
∴$\overrightarrow{AP}$=2λt$\overrightarrow{AD}$，
∴點(diǎn)P的軌跡是直線AD，
∴△ABC的重心一定屬于集合M．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量在平面圖形中的應(yīng)用以及正弦定理、向量的減法和共線的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．