Question

如圖所示，三棱錐D-ABC，已知平面ABC⊥平面ACD，AD⊥DC，AC=6，AB=4

3

，∠CAB=30°
（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）若二面角A-BC-D為45°，求直線AB與平面BCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由余弦定理得BC=2

3

，從而AC⊥BC，BC⊥平面ACD．由此能證明BC⊥AD．
（Ⅱ）解法一：由BC⊥平面ACD，BC⊥CD．∠ACD是平面BCD與平面ABC所成的二面角的平面角，由此能求出直線AB與平面BCD所成的角的正弦值．
（Ⅱ）法二：利用空間向量：建立空間直角坐標(biāo)系，忍能求出直線AB與平面BCD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：△ACB中，
應(yīng)用余弦定理：cos∠CAB=

AC2+AB2-BC2

2AC•AB

=

3

2

，
解得BC=2

3

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．（3分）
∵平面ABC⊥平面ACD，
平面ABC∩平面ACD=CD，BC⊥AC
∴BC⊥平面ACD．
又∵AD?平面ACD
∴BC⊥AD．（6分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ），BC⊥平面ACD，CD?平面ACD，
∴BC⊥CD．
又∵AC⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC，
∴∠ACD是平面BCD與平面ABC所成的二面角的平面角，即∠ACD=45°． （8分）
∵AD⊥DC，AD⊥BC，
∴AD⊥平面BCD．
∴∠ABD是AB與平面BCD所成的角． （10分）
Rt△ACD中，AD=ACsin45°=3

2

∴Rt△ADB中，sin∠ABD=

AD

AB

=

6

4

．（12分）
（Ⅱ）法二：利用空間向量：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
平面CAB法向量u=（0，0，1），
設(shè)平面BCD的法向量v=（1，λ，μ），由v⊥

CB

，知λ=0，
從而v=（1，0，μ），cos＜u，v＞=

u•v

|u||v|

=

μ

1+μ2

=

2

2

解得μ=1，v=（1，0，1），
由題意知A（6，0，0），B(0，2

3

，0)，
則

AB

=(-6，2

3

，0)，
設(shè)直線AB與平面BCD所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AB

，v＞|=

6

4

，
即求直線AB與平面BCD所成的角的正弦值為

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．