Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

m

=（a+b，a+c），

n

=（c，b-a），
且

m

∥

n

．
（1）求B；    
（2）若a+c=8，b=7，求△ABC的面積；
（3）若sinAsinC=

3 -1

4

，求C．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）由已知得 （a+b）×（b-a）-c×（a+c）=0，可求得a²+c²-b²=-ac，再由余弦定理即可求B的值．
（2）由（1）可求得（a+c）²-b²=ac，代入已知即可求得ac的值，代入三角形面積公式即可求值．
（3）由A+C=

π

3

，可求cos（A-C）=cos（A+C）+2sinAsinC=

3

2

，又由-

π

3

＜A-C＜

π

3

，可得A-C=

π

6

或A-C=-

π

6

，從而可求C的值．
另解（3）：由A+C=

π

3

，可求得

1

2

sin(2C+

π

6

)-

1

4

=

3 -1

4

，即有sin(2C+

π

6

)=

3

2

，分析角的范圍即可求得C的值．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）由已知得 （a+b）×（b-a）-c×（a+c）=0，
則a²+c²-b²=-ac．…（2分）
由余弦定理得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2

，…（3分）
因此，B=

2π

3

．…（4分）
（2）由（1）知a²+c²-b²=-ac，即（a+c）²-b²=ac，
又a+c=8，b=7，則ac=15，…（6分）
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×15×sin

2π

3

=

15 3

4

．…（8分）
（3）由（Ⅰ）知A+C=

π

3

，…（9分）
所以 cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=

1

2

+2×

3 -1

4

=

3

2

，…（11分）
又-

π

3

＜A-C＜

π

3

，故A-C=

π

6

或A-C=-

π

6

，…（13分）
又A+C=

π

3

，因此，C=

π

12

或C=

π

4

．…（14分）
另解（3）：由（Ⅰ）知A+C=

π

3

，…（9分）
∴sinAsinC=sin(

π

3

-C)sinc=(

3

2

cosC-

1

2

sinC)sinC，…（10分）
=

3

4

sin2C-

1

2

•

1-cos2C

2

=

1

2

(

3

2

sin2C+

1

2

cos2C)-

1

4

，
=

1

2

sin(2C+

π

6

)-

1

4

=

3 -1

4

，…（12分）
∴sin(2C+

π

6

)=

3

2

，
由0＜C＜

π

3

，得

π

6

＜2C+

π

6

＜

5π

6

，
∴2C+

π

6

=

π

3

，或2C+

π

6

=

2π

3

，
 即C=

π

12

或C=

π

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，三角函數(shù)求值，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．