Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右頂點(diǎn)A到左右兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離分別為8和2．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF₂²-PA²=4，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右頂點(diǎn)A到左右兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離分別為8和2，可得a+c=8，a-c=2，求出a，c，可得b，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)P（x，y），利用動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF₂²-PA²=4，化簡(jiǎn)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右頂點(diǎn)A到左右兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離分別為8和2，
∴a+c=8，a-c=2，
∴a=5，c=3，
∴b=4，
∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）設(shè)P（x，y），則
∵動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF₂²-PA²=4，
∴（x-3）²+y²-（x-5）²-y²=4，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定幾何量是關(guān)鍵．