Question

已知直線l是y=sinx+3cosx在x=

π

4

處的切線，點（sinn

π

2

，an+

2 π

4

）在直線l上，則數列{a_n}的前30項和為

 

．

Answer 1

考點：數列與三角函數的綜合,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：等差數列與等比數列

分析：由導數的幾何意義求出直線l的方程為y=-

2

（x-

π

4

）+2

2

，把點（sinn

π

2

，an+

2 π

4

）代入直線l，得a_n=2

2

-

2

sin

nπ

2

，由sin

nπ

2

的取值是1，0，-1，0的循環(huán)，能求出數列{a_n}的前30項和．

解答： 解：∵y=sinx+3cosx，∴y|

π

4

=sin

π

4

+3cos

π

4

=2

2

，
y′=cosx-3sinx，y′|

π

4

=cos

π

4

-3sin

π

4

=-

2

，
∵直線l是y=sinx+3cosx在x=

π

4

處的切線，
∴直線l的方程為y=-

2

（x-

π

4

）+2

2

，
∵點（sinn

π

2

，an+

2 π

4

）在直線l上，
∴a_n=2

2

-

2

sin

nπ

2

，
sin

nπ

2

的取值是1，0，-1，0的循環(huán)，
∴數列{a_n}的前30項和：
S₃₀=30×2

2

-

2

[7（1+0-1+0）+1+0]=59

2

．
故答案為：59

2

．

點評：本題考查數列的前30項和的求法，是中檔題，解題時要注意導數的幾何意義、三角函數的周期性的合理運用．