Question

9．已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12，記{a_n}的前n項和為S_n，若a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列，則正整數(shù)
k的值為6．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差等于d，由題意和等差數(shù)列的通項公式列出方程組，由等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式求出 a₁和d的值，求出a_n和S_n，由等比中項的性質(zhì)列出方程，求出正整數(shù)k的值．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差等于d，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+2d=8}\\{2{a}_{1}+4d=12}\end{array}\right.$，解得 a₁=2，d=2．
∴a_n =2+（n-1）2=2n，
前n項和為S_n =$\frac{n（2+2n）}{2}$=n（n+1），
∵若a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列，∴${{a}_{k}}^{2}$=a₁ S_k+2 ，
∴4k² =2（k+2）（k+3），
解得k=6 或k=-1（舍去），則k=6，
故答案為：6．

點評 本題考查了等比中項的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式的應(yīng)用，考查方程思想，化簡、計算能力，屬于中檔題．