Question

18．已知向量$\vec a=（{sinx，-1}）$，$\vec b=（{\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}}）$，函數(shù)$f（x）=（{\vec a+\vec b}）•\vec a-2$．
（1）求函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{2π}{3}}）$上的最值；
（2）若a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，其中A為銳角，$a=2\sqrt{3}$，c=4，且f（A）=1，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）計算向量的數(shù)量積，利用二倍角．兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)f（x）的表達式，得到一個角的一個三角函數(shù)的形式；借助正弦函數(shù)的最值，求出函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{2π}{3}}）$上的最值；
（2）由f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，又A為銳角，即可解得A，從而由正弦定理解得C=$\frac{π}{2}$，可得△ABC為Rt△，即可求得b，由三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）$f（x）=（{\vec a+\vec b}）•\vec a-2={\vec a^2}+\vec a•\vec b-2$
=${sin^2}x+1+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}-2$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．
當$x∈[{0，\frac{2π}{3}}）$時，$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}）$，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象知，當$2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$，即x=0時，函數(shù)f（x）取得最小值，且最小值為$-\frac{1}{2}$；
當$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值為1．
所以函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{2π}{3}}）$上的最大值為1，最小值為$-\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知$f（A）=sin（{2A-\frac{π}{6}}）=1$．
因為$A∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$2A-\frac{π}{6}∈（{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
所以$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{3}$．
由a²=b²+c²-2bccosA，得$12={b^2}+16-2×4b×\frac{1}{2}$，
即b²-4b+4=0，解得b=2．
故$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2×4×sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理，三角形面積公式的應用，屬于基本知識的考查．