Question

3．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為4，點(diǎn)H在棱AA₁上，且HA₁=1．在側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)作邊長為1的正方形EFGC₁，P是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDD₁C₁距離等于線段PF的長．則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，
（1）P的軌跡方程是2x-1=（z-3）²，
（2）|HP|²的最小值是22．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)H作HM⊥BB′，垂足為M，連接MP，利用PN=PF，求出P的軌跡方程；
（2）得出HP²=HM²+MP²；當(dāng)MP最小時(shí)，HP²最小，利用空間直角坐標(biāo)系求出MP²的最小值即可．

解答 解：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
過點(diǎn)H作HM⊥BB′，垂足為M，連接MP，
則HM⊥PM，
∴HP²=HM²+MP²；
當(dāng)MP最小時(shí)，HP²最小，
過P作PN⊥CC′，垂足為N，
設(shè)P（x，4，z），則
F（1，4，3），M（4，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；
∵PN=PF，∴$\sqrt{（x-1）^{2}+（z-3）^{2}}$=x，化簡得2x-1=（z-3）²；
（2）MP²=（x-4）²+（z-3）²=（x-4）²+2x-1=x²-6x+15≥6，
當(dāng)x=3時(shí)，MP²取得最小值，此時(shí)HP²=HM²+MP²=4²+6=22為最小值．
故答案為2x-1=（z-3）²；22．

點(diǎn)評 本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用問題，也考查了空間中的距離的最值問題，是較難的題目．