Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知a+b=13，c=7，且4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

，
（1）求角C的大��；
（2）求△ABC的內(nèi)切圓面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,二倍角的正弦,二倍角的余弦

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)二倍角公式進(jìn)行化簡，即可求角C的大小；
（2）求出△ABC的內(nèi)切圓的半徑即可求面積．

解答： 解：（1）由4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

，
得4×

1-cos(A+B)

2

-cos2C=

7

2

，
即2+cosC-cos2C=

7

2

，
即4cos²C-4cosC+1=0，
解得cosC=

1

2

，即C=

π

3

．
（2）由C=

π

3

，a+b=13，c=7，
得49=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=169-3ab，
即ab=40，解得a=5，b=8或a=8或b=5，
則三角形的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×5×8×

3

2

=10

3

，
則△ABC的內(nèi)切圓的半徑r=

2S

a+b+c

=

2×10 3

5+8+7

=

3

，
則△ABC的內(nèi)切圓面積S=π•r²=3π

點(diǎn)評：本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用余弦定理以及三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．