Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足．
（1）求證：AF⊥DB；
（2）如果圓柱與三棱錐D-ABE的體積的比等于3π，設(shè)∠ABE=θ，求sin2θ．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證AF⊥DB，先證AF⊥平面DEB，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可證得線面垂直；
點E作EH⊥AB，H是垂足，連接DH，運用體積之比得出，得EH=R，可以判斷θ=45°，即可求解sin2θ的值．

解答： （1）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，DA⊥平面ABE．
∵EB?平面ABE，
∴DA⊥EB．
∵AB是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，
故得EB⊥平面DAE．
∵AF?平面DAE，
∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，
故得AF⊥平面DEB．
∵DB?平面DEB，
∴AF⊥DB．
（2）解：過點E作EH⊥AB，H是垂足，連接DH．
根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交線．且EH?平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．
又DH?平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，從而∠EDH是DE與平面ABCD所成的角．
設(shè)圓柱的底面半徑為R，則DA=AB=2R，于是
V圓柱=2πR³，V_D-ABE=

1

3

×S_△ABE×AD=

2R2

3

•EH．
由V_圓柱：V_D-ABE=3π，得EH=R，可知H是圓柱底面的圓心，
AH=R，
∵設(shè)∠ABE=θ，∴θ=45°，
sin2θ=sin90°=1．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、圓柱性質(zhì)、空間想象能力和邏輯推理能力．