Question

【題目】若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足： =an+1﹣an（a∈N*），則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”．
（1）請(qǐng)寫出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前3項(xiàng)的值；
（2）設(shè)數(shù)列{an}是一個(gè)“比差等數(shù)列”
（i）求證：a2≥4；
（ii）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 求證：對(duì)于任意n∈N*，都有Sn＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：一個(gè)“比差等數(shù)列”的前3項(xiàng)可以是：2，4，
（2）解：（i）證明：當(dāng)n=1時(shí)， ，

∴ = = = ，

∵an＞0，∴ ，則a1﹣1＞0，即a1＞1，

∴ ≥2 +2=4，

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，

則a2≥4成立；

（ii）由an＞0得，an+1﹣an= ≥0，

∴an+1≥an＞0，則an+1﹣an= ，

由a2≥4得，a3﹣a2≥1，a4﹣a3≥1，…，an﹣an﹣1≥1，

以上 n﹣1個(gè)不等式相加得，an≥（n﹣2）+4=n+2（n≥2），

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=a1+a2+a3+…+an

≥1+4+（3+2）+…+（n+2）≥（1+2）+（2+2）+…+（n+2）﹣2

= ﹣2= ，

當(dāng)n=1時(shí)，由（i）知S1=a1＞1≥ ，

綜上可得，對(duì)于任意n∈N*，都有Sn＞

【解析】（1）根據(jù)“比差等數(shù)列”的定義，寫出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前3項(xiàng)即可；（2）（i）當(dāng)n=1時(shí)可得 ，求出a2利用分離常數(shù)法化簡，由an＞0可得a1＞1，利用基本不等式證明a2≥4；（ii）由an＞0得an+1﹣an= ≥0，得an+1≥an＞0從而得到an+1﹣an= ，列出n﹣1個(gè)不等式并相加得an≥n+2（n≥2），當(dāng)n≥2時(shí)利用放縮法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡后，得到Sn的不等式再驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．