Question

18．一個(gè)三棱錐的6條棱中有5條長(zhǎng)是1，余下的棱長(zhǎng)是x，則該三棱錐的體積最大值是$\frac{1}{8}$；表面積最大值是1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；x的取值范圍是（0，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 做出圖形，設(shè)AC=x，二面角A-BD-C為α，則當(dāng)α=90°時(shí)，棱錐的體積最大，求出S_△ACD關(guān)于x的表達(dá)式，得出表面積的最大值，在△ACE中使用余弦定理求出x的范圍．

解答 解：設(shè)三棱錐A-BCD中，AC=x，其余各棱均為1，則△BCD，△ABD為邊長(zhǎng)為1的正三角形．
設(shè)E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，二面角A-BD-C的大小為α，則∠AEC=α．AE=CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$S_△ACE•BD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}sinα×1$=$\frac{sinα}{8}$．
∴當(dāng)α=90°時(shí)，三棱錐的體積取得最大值$\frac{1}{8}$．
∵DF=BF=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，
∴S_△ABC=S_△ACD=$\frac{1}{2}•x•\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}（1-\frac{{x}^{2}}{4}）}$≤$\frac{1}{2}$，
∴三棱錐的表面積S=2S_△ACD+2S_△BCD≤2×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
在△ACE中，由余弦定理得AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}-2AE•CEcosα}$=$\sqrt{\frac{3}{2}（1-cosα）}$．
∵0＜α＜π，
∴0$＜AC＜\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（0，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，體積，表面積計(jì)算，屬于中檔題．