Question

有一個所有棱長均為a的正四棱錐P-ABCD，還有一個所有棱長均為a的正三棱錐．將此三棱錐的一個面與正四棱錐的一個側(cè)面完全重合地粘在一起，得到一個如圖所示的多面體．
（Ⅰ）證明：P，E，B，A四點共面；
（Ⅱ）求三棱錐A-DPE的體積；
（Ⅲ）在底面ABCD內(nèi)找一點M，使EM⊥面PBC，指出M的位置，并說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PB的中點F，連結(jié)CF，由已知得AF⊥PB，CF⊥PB，AF=CF=

3

2

a，從而∠ACF為二面角A-PB-C的平面角，∠EFC為E-PB-C的平面角，由余弦定理，得cos∠AFC=-

1

3

，cos∠EFC=

1

3

，由此能證明P，E，B，A四點共面．
（Ⅱ）由已知得BE∥平面APD，利用V_A-EPD=V_B-APD=V_P-ABD，由等積法能求出三棱錐A-DPE的體積．
（Ⅲ）由已知得H為△PBC的重心，且H為△ACE的重心，由此能求出M為線段AC的中點．

解答： 解：（Ⅰ）證明：取PB的中點F，連結(jié)CF，
∵各面都為正三角形，∴AF⊥PB，CF⊥PB，
且AF=CF=

3

2

a，
∴∠ACF為二面角A-PB-C的平面角，∠EFC為E-PB-C的平面角，
在△AFC中，由余弦定理，得：
cos∠AFC=

AF2+CF2-AC2

2AF•CF

=

3 4 a2+ 3 4 a2-2a2

2× 3 2 a× 3 2 a

=-

1

3

，
cos∠EFC=

EF2+CF2-EC2

2EF•CF

=

3 4 a2+ 3 4 a2-a2

2× 3 2 a× 3 2 a

=

1

3

，
∴∠AFC+∠EFC=π，
∴P，E，B，A四點共面．
（Ⅱ）解：∵A，B，E，P四點共面，∠PAB=60°，∠ABE=120°，
∴AP∥BE，又BE?平面APD，AP?平面APD，∴BE∥平面APD，
∴V_A-EPD=V_B-APD=V_P-ABD=

1

3

×

1

2

×a×a×

2

2

a=

2

12

a3．
（Ⅲ）解：∵ME⊥平面PBC，交平面PBC于H，
∴H為△PBC的重心，
連結(jié)AC，在△ACE中，∵

CH

HF

=

1

2

，
∴H為△ACE的重心，
∴M為線段AC的中點．

點評：本題考查四點共面的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查滿足條件的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運用．