Question

【題目】已知函數(shù)

是否存在，使得，按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定的個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由；

求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可得，所以可將問題轉(zhuǎn)化為判斷方程在區(qū)間內(nèi)是否有解處理，設(shè)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解．（2）結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為研究當(dāng)時(shí)，方程的解的情況．然后利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的周期性進(jìn)行分析、求解后可得結(jié)論．

（1）∵，

∴，

所以．

所以問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)是否有解．

設(shè)，

則，

因?yàn)?/span>，

所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，

即存在唯一的 滿足題意．

（2）由題意得．

令，

當(dāng)，即時(shí)，，從而不是方程的解．

所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程，

下面研究當(dāng)時(shí)，方程的解的情況．

令，，

則問題等價(jià)于直線與曲線的交點(diǎn)情況．

又，

令得或．

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

				()
	+	0	-	-	0	+
		1			-1

當(dāng)且趨近于0時(shí)，趨向于，

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于，

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于，

當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于，

故當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)無交點(diǎn)，在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn).

由的周期性可知當(dāng)時(shí)，直線與在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，

從而不存在正整數(shù)，使與在內(nèi)有2019個(gè)交點(diǎn)．

又當(dāng)或時(shí)，直線與在內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn)，

由周期性知，

所以．