Question

5．函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x+x-5的零點(diǎn)為x₁、x₂，函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x+x-5的零點(diǎn)為x₃、x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄的值為10．

Answer 1

分析 由函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．

解答 解：由f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x+x-5=0得（$\frac{1}{3}$）^x=5-x，
由g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x+x-5的得log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=5-x
分別作出函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）^x，y=5-x和y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的圖象，
∵y=（$\frac{1}{3}$）^x和y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的圖象關(guān)于y=x對稱，
則（$\frac{1}{3}$）^x=5-x，與log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=5-x的根關(guān)于y=x對稱，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=5-x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{{x}_{2}+{x}_{4}}{2}$=$\frac{5}{2}$，
即x₁+x₃=5，x₂+x₄=5，
則x₁+x₂+x₃+x₄=10，
故答案為：10．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與零點(diǎn)的應(yīng)用，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．