Question

【題目】如圖幾何體是四棱錐，為正三角形，，，，且．

（1）求證：平面平面；

（2）是棱的中點(diǎn)，求證：平面；

（3）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） ．

【解析】

試題分析：（1）由面面垂直的判定定理；（2）由線(xiàn)線(xiàn)平行得到線(xiàn)面平行；（3）建立空間直角坐標(biāo)系, 分別算出平面和平面的法向量, 用空間向量數(shù)量積推論算出二面角的余弦值．

試題解析：（1）證明：∵為正三角形，，，

故連接交于點(diǎn)，則，

又∵，，故面，∴平面平面．

（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，則，且平面，∴平面；

而，，∴，且平面，∴平面．

綜上所述，平面平面，∴平面

（3）解：由（1）知，且，，連接，則，故；

又∵是的中點(diǎn)，故，

故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

，．

設(shè)平面的法向量為，則由得．

，．

同理得平面的法向量．

故二面角的平面角的余弦值為