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【題目】

已知點A(2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AMBM的斜率之積為.M的軌跡為曲線C.

1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

2)過坐標原點的直線交CPQ兩點,點P在第一象限,PEx軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G.

i)證明:是直角三角形;

ii)求面積的最大值.

(二)選考題:共10請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分

【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析

【解析】

1)分別求出直線AMBM的斜率,由已知直線AMBM的斜率之積為,可以得到等式,化簡可以求出曲線C的方程,注意直線AMBM有斜率的條件;

2)(i)設出直線的方程,與橢圓方程聯立,求出PQ兩點的坐標,進而求出點的坐標,求出直線的方程,與橢圓方程聯立,利用根與系數關系求出的坐標,再求出直線的斜率,計算的值,就可以證明出是直角三角形;

ii)由(i)可知三點坐標,是直角三角形,求出的長,利用面積公式求出的面積,利用導數求出面積的最大值.

1)直線的斜率為,直線的斜率為,由題意可知:,所以曲線C是以坐標原點為中心,焦點在軸上,不包括左右兩頂點的橢圓,其方程為

2)(i)設直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯立,,P在第一象限,所以,因此點的坐標為

直線的斜率為,可得直線方程:,與橢圓方程聯立,,消去得,*),設點,顯然點的橫坐標是方程(*)的解

所以有,代入直線方程中,得

,所以點的坐標為

直線的斜率為; ,

因為所以,因此是直角三角形;

ii)由(i)可知:,

的坐標為,

,

,

,因為,所以當時,,函數單調遞增,當時,,函數單調遞減,因此當時,函數有最大值,最大值為.

練習冊系列答案
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分數大于等于

分數不足

合計

周做題時間不少于小時

4

19

周做題時間不足小時

合計

45

)請完成上面的列聯表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”.

)(i)按照分層抽樣的方法,在上述樣本中,從分數大于等于分和分數不足分的兩組學生中抽取名學生,設抽到的不足分且周做題時間不足小時的人數為,求的分布列(概率用組合數算式表示).

(ii)若將頻率視為概率,從全校大于等于分的學生中隨機抽取人,求這些人中周做題時間不少于小時的人數的期望和方差.

附:

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證明:平面平面PEF;

,求PD與平面PFC所成角的正弦值.

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