Question

7．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{3{a}_{n-1}+1}$（n≥2，n∈N₊）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意a₁=$\frac{1}{3}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{3{a}_{n-1}+1}$（代入計(jì)算，可求a₂、a₃、a₄值，并根據(jù)規(guī)律猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（Ⅰ）a₁=$\frac{1}{3}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{3{a}_{n-1}+1}$，
∴a₂=$\frac{\frac{1}{3}}{3×\frac{1}{3}+1}$=$\frac{1}{6}$，a₃=$\frac{\frac{1}{6}}{3×\frac{1}{6}+1}$=$\frac{1}{9}$，a₄=$\frac{\frac{1}{9}}{3×\frac{1}{9}+1}$=$\frac{1}{12}$，
猜想：a_n=$\frac{1}{3n}$，
（Ⅱ）：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立，
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)猜想成立，即a_k=$\frac{1}{3k}$．
那么n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{3{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{1}{3k}}{3•\frac{1}{3k}+1}$=$\frac{1}{3（k+1）}$
∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想仍成立．
根據(jù)①②，可以斷定猜想對任意的n∈N^*都成立．

點(diǎn)評 本題主要考查歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法．考查運(yùn)算化簡能力、推理論證能力、化歸轉(zhuǎn)化思想．