Question

5．設(shè)f（x）=$\frac{（x+2）^{2}+（sinx+3）{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$的最大值是M，最小值是m，則M+m=8．

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）化為4+$\frac{{x}^{2}sinx+4x}{{x}^{2}+1}$，設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}sinx+4x}{{x}^{2}+1}$，定義域?yàn)镽，可得g（x）為奇函數(shù)，即有g(shù)（x）的最值之和為0，即可得到所求和．

解答 解：f（x）=$\frac{（x+2）^{2}+（sinx+3）{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$
=$\frac{{x}^{2}+4x+4+{x}^{2}sinx+3{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$
=$\frac{4（{x}^{2}+1）+（{x}^{2}sinx+4x）}{{x}^{2}+1}$
=4+$\frac{{x}^{2}sinx+4x}{{x}^{2}+1}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}sinx+4x}{{x}^{2}+1}$，定義域?yàn)镽，
可得g（-x）=$\frac{（-x）^{2}sin（-x）-4x}{（-x）^{2}+1}$=-$\frac{{x}^{2}sinx+4x}{{x}^{2}+1}$=-g（x），
則g（x）為奇函數(shù)，
設(shè)g（x）的最大值為A，最小值為a，
即有A+a=0，
則M+m=4+A+（4+a）=8+（A+a）=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的判斷和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)變形的運(yùn)算能力，屬于中檔題．