Question

15．如圖四棱錐P-ABCD，三角形ABC為正三角形，邊長(zhǎng)為2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O為AC的中點(diǎn)，PO=1．
（1）證明PA⊥BO；
（2）證明DO∥平面PAB；
（3）平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，推出$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BO}$，利用$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BO}=0$，證明PA⊥BO．
（2）求出平面APB法向量為$\overrightarrow{n_1}$=（x₀，y₀，z₀），求出$\overrightarrow{DO}$，通過(guò)$\overrightarrow{DO}•\overrightarrow{n_1}=0$，證明DO∥平面PAB．
（3）求出平面DPC法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{x_°}，{y_°}，{z_°}）$，結(jié)合（2），利用空間向量的數(shù)量積求解平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）證明：如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則$AD=1，AC=2，AD⊥DC∴CD=\sqrt{3}，∠ACD={30°}∴BC⊥CD$，
A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，1，0），
O（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），P（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）…（2分）
$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{BO}$=（$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$1，$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BO}=0$，
∴PA⊥BO．    …（5分）
（2）證明：$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
設(shè)平面APB法向量為$\overrightarrow{n_1}$=（x₀，y₀，z₀）
可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_°}+\frac{1}{2}{y_°}+{z_°}=0}\\{\sqrt{3}{x_°}-{y_°}=0}\end{array}}\right.$，令x_°=1，則$\overrightarrow{n_1}$=（1，$\sqrt{3}$，$-\sqrt{3}$）…（7分）．
$\overrightarrow{DO}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$-\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{DO}•\overrightarrow{n_1}=0$，DO∥平面PAB…（9分）
（3）$\overrightarrow{DP}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$-\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{3}$，0，0）
設(shè)平面DPC法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{x_°}，{y_°}，{z_°}）$，可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_°}-\frac{1}{2}{y_°}+{z_°}=0}\\{\sqrt{3}{x_°}=0}\end{array}}\right.$，
令y_°=1，則$\overrightarrow{n_2}$=（0，1，$\frac{1}{2}$）…（11分）
$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{105}}}{35}$．
平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{105}}}{35}$…（13分

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量的應(yīng)用，直線(xiàn)與平面平行于垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面鏡的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．