Question

7．若圓x²+y²=R²（R＞0）與曲線(xiàn)||x|-|y||=1的全體公共點(diǎn)恰好是一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，則R=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，可得正多邊形為正八邊形，然后由已知通過(guò)解三角形求得答案．

解答 解：由||x|-|y||=1，得|x|-|y|=±1
即$\left\{\begin{array}{l}{x-y=±1（x≥0，y≥0）}\\{x+y=±1（x≥0，y＜0）}\\{-x+y=±1（x＜0，y＜0）}\\{-x-y=±1（x＜0，y≥0）}\end{array}\right.$，
作出圖象如圖，正多邊形為正八邊形，
在△AOB中，∠AOB=45°，AB=$\sqrt{2}$，
∴AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos45°，
即2=2R²-$\sqrt{2}{R}^{2}$，
∴${R}^{2}=\frac{2}{2-\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$，則R=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
故答案為：$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．