Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

2

）^x，g（x）=log

1

2

x，記函數(shù)h（x）=

g(x)，f(x)≤g(x) f(x)，f(x)＞g(x)

，則函數(shù)F（x）=h（x）+x-5所有零點(diǎn)的和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：運(yùn)用函數(shù)f（x）=（

1

2

）^x與g（x）=log

1

2

x關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可知h（x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱．利用y=x與y=5-x的交點(diǎn)，結(jié)合圖求解即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=（

1

2

）^x，g（x）=log

1

2

x，關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
記函數(shù)h（x）=

g(x)，f(x)≤g(x) f(x)，f(x)＞g(x)

，
∴可知h（x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
∵y=x與y=5-x，交點(diǎn)為A（2.5，2.5）
∴y=5-x，與函數(shù)h（x）交點(diǎn)關(guān)于A對(duì)稱，
x₁+x₂=2×

5

2

=5
∴函數(shù)F（x）=h（x）+x-5，的零點(diǎn)．
設(shè)h（x）與y=5-x交點(diǎn)問(wèn)題，可以解決函數(shù)F（x）=h（x）+x-5零點(diǎn)問(wèn)題．

故函數(shù)F（x）=h（x）+x-5所有零點(diǎn)的和為5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的交點(diǎn)，解決復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，反函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題，