Question

若直線l：y=（a+1）x-1與曲線C：y²=ax恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值集合，并指出a=0，a=-1時(shí)a的幾何意義．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立方程組，消去y得到關(guān)于x的準(zhǔn)一元二次方程，分二次項(xiàng)的系數(shù)等于零和不為零兩種情況進(jìn)行討論．

解答： 解：聯(lián)立方程組

y=(a+1)x-1 y2=ax

，得：（a+1）²x²-（3a+2）x+1=0．
當(dāng)a=-1時(shí)，顯然成立；
當(dāng)a≠-1時(shí)，由△=（3a+2）²-4（a+1）²=0，解得a=0或-

4

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．
綜上，a=0、-1、-

4

5

．
則實(shí)數(shù)a的取值集合為{0，-1，-

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}．
當(dāng)a=0時(shí)，曲線C為x軸，兩直線有一個(gè)交點(diǎn)；
a=-1時(shí)直線l平行于拋物線的對稱軸，與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了由一元二次方程的判別式判斷根的個(gè)數(shù)問題，是基礎(chǔ)題．