Question

已知A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函數(shù)f(x)=2sin(?x+?)(?＞0,＜?＜0)圖象上的任意兩點，且角?的終邊經(jīng)過點P(l，-)，若|f(x1)-f(x2)|=4時，|x1-x2|的最小值為.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)x∈時，不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）f(x)=2sin(3x-)；（2）[+，+]， k∈Z；（3）[，+?).

【解析】

試題分析：（1）由角?的終邊經(jīng)過點P(l，-)及＜?＜0可求得?的值，又|f(x1)-f(x2)|=4時，|x1-x2|的最小值為可最小正周期為，從而可求出?的值，即可求出其表達式；（2）由復(fù)合函數(shù)的知識可令3x-=u，只需令+2k?≤u≤+2k?，解出x的范圍即是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立要求m的范圍，只需用分離變量的作法，等價于，而x∈，可求出f(x)的范圍，從而可求出的最大值，則m恒大于或等于其最大值.

試題解析：(1)角?的終邊經(jīng)過點P(1，-)，tan?=-，∵＜?＜0，∴?=-.由|f(x1)-f(x2)|=4時，|x1-x2|的最小值為，得T=，即=，∴?=3，∴f(x)=2sin(3x-)

(2)令+2k?≤3x-≤+2k?，得+≤x≤+，k∈Z

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[+，+]，k∈Z.

(3)當(dāng)x∈時，-≤f(x)≤1，所以2+f(x)＞0，mf(x)+2m≥f(x)等價于.由-≤f(x)≤1，得的最大值為，所以實數(shù)m的取值范圍是[，+?).

考點：三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的周期公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題，分離變量法，轉(zhuǎn)化思想.